# Больше примеров производных

Зачем это нужно: одного-двух примеров недостаточно, чтобы увидеть общий паттерн — что у каждой функции своя формула наклона. [«Производные: что такое наклон функции»](/notes/derivatives-intuition/) объяснила саму идею на $f(a)=3a$ (наклон-константа) и $f(a)=a^2$ (наклон меняется от точки к точке); если это незнакомо — начни оттуда. Здесь — ещё два примера, которые закрепляют паттерн и понадобятся дальше при разборе вычислительных графов.

Напомним: **численная производная** ($f'(a)$) — это подвинуть вход функции на крошечный $\varepsilon$, посмотреть, на сколько сдвинулся выход, и поделить одно на другое; формула наклона даёт тот же ответ мгновенно, без замера.

**Кубическая функция**, $f(a) = a^3$: производная $f'(a) = 3a^2$. Проверка при $a = 1,\, 2,\, 5$:

- $a=1$: формула даёт $3 \cdot 1^2 = 3$; численно (та же процедура с $\varepsilon = 10^{-6}$) выходит $3.0000030$.
- $a=2$: формула даёт $3 \cdot 4 = 12$; численно $12.0000060$.
- $a=5$: формула даёт $3 \cdot 25 = 75$; численно $75.0000150$.

**Натуральный логарифм**, $f(a) = \ln(a)$: производная $f'(a) = 1/a$. Тот же логарифм, что встречался в кросс-энтропии из «Бинарной классификации» — там он мерил штраф, здесь у него просто есть свой наклон. Проверка при $a = 1,\, 2,\, 5$:

- $a=1$: формула $1/1 = 1$; численно $0.9999995$.
- $a=2$: формула $1/2 = 0.5$; численно $0.4999999$.
- $a=5$: формула $1/5 = 0.2$; численно $0.1999999800$.

Совпадения не случайны — это одна из причин, почему математики выводят такие формулы раз и навсегда, а не гоняют численный замер на каждом шаге. Заметь общий паттерн, который повторяется во всех четырёх примерах (этой статьи и предыдущей — [«Производные: что такое наклон функции»](/notes/derivatives-intuition/)): у **каждой** функции — своя формула наклона, и эта формула может как быть постоянной ($f(a)=3a$), так и зависеть от точки ($a^2$, $a^3$, $\ln(a)$). Backprop, который мы разберём в следующих статьях, — это способ быстро посчитать нужные наклоны для сложной цепочки функций, не гоняя численный замер по всей нейросети на каждом шаге.

**Мини-квиз:** пользуясь формулой $3a^2$, чему равен наклон $f(a) = a^3$ в точке $a = 10$? <details><summary>Ответ</summary>$3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300$. Формула наклона сразу выдаёт ответ в любой точке — без численного замера.</details>

## Что дальше

Дальше нейросеть — не одна функция, а цепочка из многих: чтобы посчитать производную такой цепочки, удобно сперва нарисовать её как схему. Это тема [«Вычислительного графа»](/notes/computational-graph/).